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# 复杂系统

## 复杂系统的特征

- 组成部分或个体相对简单
- 各部分非线性相互作用
- 没有中心控制
- 涌现行为，例如层级结构、信息处理、动态、进化学习
- 缺少数学工具统一整合理论

## 动力学

- 系统随时间的变化
- 混沌系统，初始条件与运行规则已知，长期预测不可知，对初始值敏感但存在可预测的全局特性
- Logistic Map

## 分形

- 自我相似性，整体与局部相似
- 分形的维度，D维对象的边被反复切割为M个部分，每一切割水平有$M^D$个副本，假如副本个数为N，也就是说$N=M^D$，其维度$D = logN/logM$
- 数盒子测维度，计算有多少盒子与盒子的边长，改变盒子的边长，计算盒子的个数 $log[NumberOfBoxes] = D log[1/BoxSize]$

## 信息论

- 麦克斯韦妖
- 热动力学的墒测量做功时的热损失，热损失就是无序；统计学的墒测量能出现宏观状态的微观状态的数量，微观状态越少墒越低，越混合越无序。统计意义上热力学第二定律本质是宏观状态下微观状态数目趋向于最大
- 玻尔兹曼认为宏观状态的墒S是微观状态数W的自然对数的k倍，k是玻尔兹曼常数。更多的微观状态会提高宏观状态出现的可能，墒提高。
- 香农认为信息含量表示让人吃惊的程度
- 信息量$H = log_2 M$ M 表示以字节传递信息的可能性
- 信息整体$H = - \sum_{i=1}^{M}p_ilog_{2}p_i$ p 表示出现的概率
- Hffman编码可节省信息传递字节，进行压缩

## 进化

- 遗传算法，首先生成随机策略，对于随机策略计算适应性，然后对策略进行杂交与突变，重复这个过程直到足够好的策略产生
- 难预测，会产生过度适应，但会有新东西产生
- 编程上用if-else生成的树来进行突变

## 细胞自动机

- Conway的game of life
- Stanislaw Ulam 和 John von Neumann的细胞自动机，机器中的繁殖
- 元细胞自动机，一维仅考虑左右邻居，两个状态，共计256种模式，用二进制编码（Wolfram编码）
- 规则30被用作伪随机数生成器
- 四种分类：固定的，周期的，混沌的，局部的
- 作为动态系统考察，与 logistic map 同构
- 控制参数lambda，规则里黑色的比例，从固定到周期到混沌到周期到固定，存在混沌的边缘
- 第四种可以用来进行通用计算，但第四类很难定义，规则110可以作为通用计算机
- 细胞自动机可以用遗传算法来筛选规则演进
- 细胞自动机也可以用来理解信息交换，通过定义模式来进行

## 自组织

- 系统内部分组分的局部去中心交流产生的有组织模式
- 群聚（flocking），存在进化意义上的解释，个体规则为避免碰撞，与周围人同速，保持在一起
- 同步包括萤火虫同步、蟋蟀鸣叫、蝉鸣、神经放电、心脏跳、月经同步，存在进化上解释，个体规则为只对周围的行为进行模仿
- 蚁群觅食，随机寻找食物，当找到食物源返巢时留下信息素，其他蚂蚁得到信息素就会跟随，没有加强信息素会挥发，这会适应环境
- 工蚁只对环境变化及同类多数行为采取行动，如果蚁巢被破坏，觅食工蚁数量就会减少，个体交流用信息素或触角
- 较大的蚁巢自组织化更高，有可能是经验产生更好的统计信息与信息交换速率
- 生物行为也是一种分布去中心的编程方法，考虑了随机性与适应

- 囚徒悖论：没有中心控制的条件下如何促进合作？以牙还牙，不首先作恶、可原谅、有报复且规则清晰
- 复杂经济学：自私个体存在有限理性且策略有限，不可分析，没有平衡，需要个体适应
- 酒馆问题：100个人阈值60以下舒适，每个人根据之前的历史判断，该模型认为自组织合作可以实现整体有效而不用完全理性知识及演绎法

## 网络

- 基本结构是节点和连接，有方向的话要考虑连入和连出度
- 连接度分布与联通路径是考察网络的基本视角
- 网络中的聚类用节点的邻居之间的联系占理论所有连接的比例来定义
- 小世界理论（六度分割）：网络中很少有长距离连接，但节点间短连接比例很高
- 现实世界中网络结构既不是长距离高聚类的齐整网络，也不是低距离低聚类的随机网络，而是有较低距离但高聚类的网络
- 现实网络的形成过程可以用齐整网络间部分节点的随机连接度来模拟
- 无标度网络，网络中节点的连接度分布近似于幂律分布
- 形成原因是偏好依附
- 大节点出问题出现的系统崩溃或级联效应是值得关注的，对网络的随机攻击则不会产生太大的问题

## 尺度

- 很多现象在不同尺度上等比例放大／缩小
- 多数尺度效应符合幂律分布 $attribute = c(size)^\alpha$
- 幂律分布可写成对数线性方程
- 地震的震级与发生频率
- 动物的代谢速率与体积：考虑代谢散热，代谢率应该跟体表面积成正比，则代谢率是体积的2/3次方；然而实际数据是3/4次方，更高，60年无解，新理论认为代谢率应该跟能量分布有关，也就是分形维度，人体结果近似4维
- 城市人口密度与犯罪率／收入