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Passeio Aleatório
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<li><a href="#home">Simulação</a></li>
<li class="nav-dropdown">
<a href="#cards">Como funciona?<span class="icon-chevron"><i
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<ul>
<li>
<a href="#initial-concepts">Conceitos Iniciais<span class="icon-chevron"><i
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<ul>
<li><a href="#random-variable">Variável Aleatória</a></li>
<li><a href="#stochastic-process">Processo Estocástico</a></li>
</ul>
</li>
<li>
<a href="#random-walk">Passeio Aletório<span class="icon-chevron"><i
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<ul>
<li><a href="#final-position">Posição Final</a></li>
<li><a href="#pascal-triangle">Triângulo de Pascal</a></li>
<li><a href="#probability-distributions">Distribuições de Probabilidade</a></li>
</ul>
</li>
<li>
<a href="#about-simulation">Sobre a Simulação<span class="icon-chevron"><i
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<ul>
<li><a href="#controls">Controles</a></li>
<li><a href="#relative-frequency">Frequência Relativa</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
<li><a href="#references">Referências</a></li>
</ul>
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</header>
<main>
<section id="home">
<div class="section-container">
<div class="home-grid">
<div class="controls">
<div class="step-control">
1
<div class="step">
<label for="step-input">Passos</label>
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</div>
30
</div>
<div class="path-control">
<label for="path-select">Caminhos</label>
<div class="path">
<select id="path-select">
<option value="10" selected>10</option>
<option value="50">50</option>
<option value="100">100</option>
<option value="200">200</option>
<option value="500">500</option>
<option value="1000">1000</option>
</select>
</div>
</div>
<div class="buttons-control">
<button id="play-pause" tooltip="Play/Pause" class="pause" onclick="playToggle()"><i id="icon-play"
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<i id="icon-pause" class="fa-solid fa-pause"></i></button>
<button id="slow-down" tooltip="Desacelerar" onclick="slowDown()"><i
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<button id="speed-up" tooltip="Acelerar" onclick="speedUp()"><i class="fa-solid fa-forward"></i></button>
<button id="restart-simulation" tooltip="Reiniciar Simulação" onclick="restart()"><i
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<button id="new-simulation" tooltip="Nova Simulação" onclick="initializeSimulation()"><i
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</div>
</div>
<div class="path-chart-wrapper">
<canvas id="path-chart"></canvas>
</div>
<div class="intro-content">
<h1>Configure, simule, compare.</h1>
<ol>
<li>Escolha a quantidade de passos e caminhos;</li>
<li>Inicie a simulação, acelere o quanto desejar;</li>
<li>Acompanhe a frequência relativa se aproximar da probabilidade teórica.</li>
</ol>
</div>
<div class="probability-chart-wrapper">
<canvas id="probability-chart"></canvas>
</div>
</div>
<div class="chevron-container">
<a href="#cards"></a>
</div>
</div>
</section>
<section id="cards">
<div class="section-container">
<h1>Como funciona?</h1>
<div class="cards-wrapper">
<div class="card">
<div class="lead-icon"><i class="fa-solid fa-book"></i></div>
<h2>Conceitos Iniciais</h2>
<p>O conhecimento sobre probabilidade, variáveis aleatórias e processos estocásticos são de grande
importância para a...</p>
<div class="explore"><a href="#initial-concepts">Explorar</a></div>
</div>
<div class="card">
<div class="lead-icon"><i class="fa-solid fa-person-walking"></i></div>
<h2>Passeio Aleatório</h2>
<p>Imagine o andar de um bêbado, seus movimentos são imprevisíveis e consistem de passos para frente
ou para trás com probabilidade...</p>
<div class="explore"><a href="#random-walk">Explorar</a></div>
</div>
<div class="card">
<div class="lead-icon"><i class="fa-solid fa-computer"></i></div>
<h2>A Simulação</h2>
<p>Os controles disponíveis são capazes de configurar o número de passos e de caminhos, bem como a
velocidade de execução...</p>
<div class="explore"><a href="#about-simulation">Explorar</a></div>
</div>
</div>
</div>
</section>
<section id="article">
<div class="section-container">
<aside>
<ol>
<li>
<a href="#initial-concepts">Conceitos Iniciais</a>
<ol>
<li><a href="#random-variable">Variável Aleatória</a></li>
<li><a href="#stochastic-process">Processo Estocástico</a></li>
</ol>
</li>
<li>
<a href="#random-walk">Passeio Aleatório</a>
<ol>
<li><a href="#final-position">Posição Final</a></li>
<li><a href="#pascal-triangle">Triângulo de Pascal</a></li>
<li><a href="#probability-distributions">Distribuições de Probabilidade</a></li>
</ol>
</li>
<li>
<a href="#about-simulation">Sobre a Simulação</a>
<ol>
<li><a href="#controls">Controles</a></li>
<li><a href="#relative-frequency">Frequência Relativa</a></li>
</ol>
</li>
</ol>
</aside>
<article class="article-content">
<h2 id="initial-concepts">Conceitos Iniciais</h2>
<p>
Antes de introduzir o significado de passeio aleatório, parece prudente desenvolver alguns conceitos
essenciais para a teoria da probabilidade. Esta seção se preocupa em apresentar apenas o necessário sobre
variáveis aleatórias e processos estocásticos. Espero que ao longo do texto criemos familiaridade com as
notações matemáticas.
</p>
<h3 id="random-variable">Variável Aleatória</h3>
<p>
Frequentemente, quando um experimento probabilístico é realizado, estamos interessados em uma função
definida sobre o resultado ao invés do resultado propriamente dito. Por exemplo, suponha o
lançamento simultâneo de dois dados. Nessa situação é normal que a atenção se volte para a soma resultante
do lançamento e não para cada dado separadamente. Imagine que estejamos prestes a vencer um jogo de tabuleiro e que
para isso precisemos avançar exatamente \(9\) casas. O interesse em saber se a soma dos
dados será igual a \(9\) é muito maior que o interesse acerca dos possíveis pares de resultado:
\((3,6), (4,5), (5,4)\) ou \((6,3)\).
</p>
<p>
Funções que abstraem os possíveis resultados de um experimento probabilístico e os mapeiam a uma
quantidade de interesse são conhecidas como <strong>variáveis aleatórias</strong>.
</p>
<h4>Mais um exemplo</h4>
<p>
Considere um jogo constituído de dois lançamentos independentes de uma moeda enviesada
que costuma resultar cara \((C)\) com \(4\) vezes mais frequência que coroa \((R)\). Pretende-se tomar
algumas decisões com base no resultado:
</p>
<ul>
<li>Se \(2\) caras, o jogador permanecerá no jogo;</li>
<li>Se faces distintas, o jogador sofrerá uma penalidade;</li>
<li>Se \(2\) coroas, o jogador será desclassificado.</li>
</ul>
<p>
Modelando os resultados através de uma árvore de possibilidades, obtemos:
</p>
<div class="container-figures coin-tree">
<figure>
<img src="assets/prob_tree.png" alt="Árvore de possibilidades" />
<figcaption>Árvore de possibilidades</figcaption>
</figure>
<figure>
<img src="assets/sample_space.png" alt="Espaço amostral" />
<figcaption>Espaço amostral</figcaption>
</figure>
</div>
<p>
A árvore de possibilidades possui \(2\) níveis, cada um representando o lançamento de uma das moedas. Como
os lançamentos são limitados
a cara ou coroa, cada nó não-folha gera \(2\) novos ramos. No fim, o problema se resume a
\(4\) possíveis sequências: \(CC,CR,RC\) e \(RR\), constituindo o espaço amostral \(S\).
</p>
<p>
Sabendo que os lançamentos individuais são indepententes, deduzimos que partindo da raiz, a probabilidade
de alcançar uma folha deve ser igual a multiplicação das probabilidades dos ramos percorridos.
</p>
<table>
<thead>
<tr>
<td>Resultado</td>
<td>Probabilidade</td>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td>\(CC\)</td>
<td>$$\frac{4}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{16}{25}$$</td>
</tr>
<tr>
<td>\(CR\)</td>
<td>$$\frac{4}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{4}{25}$$</td>
</tr>
<tr>
<td>\(RC\)</td>
<td>$$\frac{1}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{25}$$</td>
</tr>
<tr>
<td>\(RR\)</td>
<td>$$\frac{1}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{25}$$</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>
Definir uma variável aleatória da forma
\(X =\) "número de coroas obtidas nos dois lançamentos de moeda" significa gerar o mapeamento:
</p>
<div class="container-figures random-variable">
<figure>
<img src="assets/random_variable.png" alt="Variável Aleatória" />
<figcaption>Variável aleatória \(X\)</figcaption>
</figure>
<p class="align-eq-left">
$$P(X=0) = P(\{CC\}) = \frac{16}{25}$$
$$P(X=1) = P(\{CR,RC\}) = \frac{4}{25}+\frac{4}{25}=\frac{8}{25}$$
$$P(X=2) = P(\{RR\}) = \frac{1}{25}$$
</p>
</div>
<blockquote>
\(P(X=x)\) no geral lê-se: probabilidade de que a variável aleatória \(X\) assuma o valor \(x\).
</blockquote>
<p>
Neste caso, se nos for perguntado qual a probabilidade de que o jogador sofra uma penalidade como consequência do
lançamento das duas moedas, reponderíamos que é a mesma probabilidade de se obter \(1\) coroa, ou seja,
\(P(X=1)=8/25\).
</p>
<p>
Uma função \(X\) definida sobre o espaço amostral \(S\) e que mapeia à valores num conjunto enumerável de pontos
é denominada <strong>variável aleatória discreta</strong>.
</p>
<h3 id="stochastic-process">Processo Estocástico</h3>
<p>
Uma van universitária que transporta estudantes entre os dormitórios e a reitoria chega à parada mais
próxima dos dormitórios em intervalos regulares de tempo. O veículo sempre chega vazio, mas se limita a acomodar no máximo
\(6\) passageiros. Por coincidência, \(6\) também é a quantidade de assentos disponíveis para uso no ponto de espera. Uma vez que todos
os assentos do ponto estejam ocupados, as pessoas excedentes aguardam a chegada da van em pé.
</p>
<ul>
<li>
Se no momento da chegada da van houver \(6\) pessoas ou menos na fila, ela parte levando todos e deixa o ponto vazio;
</li>
<li>
Por outro lado, se houver mais de \(6\) pessoas na fila, o motorista permite que apenas aquelas sentadas nos assentos embarquem. As restantes devem esperar pela próxima viagem.
</li>
</ul>
<figure class="bus-stop mb-32">
<img src="./assets/bus_stop.jpg" alt="Pessoas no ponto de espera" />
<figcaption>Ilustração por <a href='https://www.freepik.com/vectors/commute'>pch.vector</a></figcaption>
</figure>
<p>
Atendendo às reclamações do corpo discente quanto à infraestrutura insuficiente do ponto de espera, os gestores
de mobilidade urbana propuseram a condução de um estudo.
</p>
<p>
Decidiram tratar este problema como um processo estocástico, onde a variável de interesse é o número
de assentos ainda ocupados no ponto após a partida de uma van. Dependendo do horário, a probabilidade de que o ponto permaneça mais
vazio ou mais ocupado pode variar porque, naturalmente, a chegada de pessoas à fila possui caráter
aleatório. Dizemos que este problema é um <strong>processo estocástico de tempo
discreto e estado discreto</strong>.
</p>
<h4>Tempo</h4>
<p>
O conjunto de índices que evidencia a evolução do processo geralmente é referido como tempo. Esta
representação
pode ser dada pela passagem contínua do tempo, ou pela contagem de unidades discretas.
Há ainda os casos em que os índices são uma abstração do tempo através da contagem de acontecimentos regulares.
</p>
<blockquote>
No nosso exemplo, o tempo é dado pelas chegadas sucessivas das vans. O índice desse processo assume
valores no conjunto dos números naturais, \(t=1,2,3,\text{...}\)
</blockquote>
<h4>Estado</h4>
<p>
Os valores que a variável de interesse pode assumir constituem o espaço de estados do processo. A ocorrência de cada
estado está associada a uma probabilidade que evolui ao longo do tempo.
</p>
<blockquote>
No nosso exemplo, a variável de interesse pode assumir valores em \(\{0,1,2,3,4,5,6\}\), sendo a quantidade
de assentos ocupados no ponto.
</blockquote>
<h4>Interpretando realizações e probabilidades</h4>
<p>
A figura abaixo ilustra uma realização particular do processo estocástico modelado pelo estudo.
</p>
<figure class="bus-stop mt-32 mb-32">
<img src="./assets/stochastic_process.png" alt="Processo estocástico" />
<figcaption>Uma realização do processo estocástico</figcaption>
</figure>
<p>
No esquema mais acima estão
representadas as contagens de assentos ocupados que foram observadas após cada uma das \(9\) primeiras viagens feitas em um dia. No
esquema mais abaixo, apontado por setas, está a probabilidade de que após a partida da \(t\)-ésima
van, aquela quantidade de assentos ocupados fosse observada.
</p>
<ul>
<li>
Neste dia em específico, quando a \(2ª\) van partiu, todos os estudantes embarcaram e portanto nenhum
assento do ponto de espera permaneceu ocupado. A probabilidade de que isso aconteça é denotada pela
expressão \(P(X_2=0)\).
</li>
<li>
Vemos através da distribuição de \(X_2\) que é mais provável que o ponto fique vazio após a partida da \(2º\)
van.
</li>
<li>
Ainda neste mesmo dia, quando a \(5ª\) van partiu, \(3\) pessoas foram deixadas para trás e por isso \(3\)
assentos do ponto permaneceram ocupados. A probabilidade de que isso aconteça é dada por \(P(X_5=3)\).
</li>
<li>
Pela distribuição de \(X_5\) vemos que é pouco provável que o ponto fique completamente vazio ou
completamente ocupado após a partida da \(5ª\) van.
</li>
<li>
Finalmente, depois que a \(8ª\) van partiu, o ponto se manteve com todos os assentos
ocupados. A situação se repete após a partida da \(9ª\) van.
</li>
<li>
Através da distribuição de probabilidade de \(X_8\) percebemos que a lotação do ponto neste instante
é algo recorrente e exige maiores investigações.
</li>
</ul>
<p>
Essas informações são úteis para identificar a lotação do ponto, mas além das \(6\) pessoas nos assentos,
quantas ainda tiveram que continuar esperando em pé? Será que vale a pena aumentar a frota de
vans ou melhorar a infraestrutura do ponto? Por que uma quantidade maior de pessoas chegam ao ponto em
horários específicos? Talvez os gestores tenham que conduzir estudos complementares.
</p>
<p>
Um <strong>processo estocástico</strong> \(\{ X_t \text{, } t \in T \}\) é definido como uma sequência de variáveis
aleatórias indexadas por um conjunto ordenado de índices.
</p>
<p>
Processos estocásticos têm aplicação em diversas áreas do conhecimento como biologia, física e teoria da informação,
mas não entraremos neste nível de especificidade. A partir de agora nos contentaremos em discutir uma categoria mais
genérica deste conceito: o <strong>passeio aleatório</strong>.
</p>
<h2 id="random-walk">Passeio Aleatório</h2>
<p>
Uma forma irreverente de descrever o passeio aleatório se dá através do andar de um bêbado. Imagine que
os movimentos dessa pessoa são de certo modo imprevisíveis e que consistem de simples passos.
Sempre após uma unidade de tempo é dado um passo: podendo ser para frente, com probabilidade \(p\); ou
para trás, com probabilidade \(1-p\).
</p>
<p>
A fim de simplificar o problema assumiremos que \(p=1/2\), ou seja, trataremos de um passeio aleatório
<strong>simétrico</strong>.
Assumiremos
também que o problema é unidimensional, visto que não haverá outros graus de liberdade para o
movimento.
</p>
<p>
Definimos então uma variável aleatória \(Y=\) "sentido do passo (frente \(=+1\), trás\(=-1\))",
cujas probabilidades são:
</p>
<ul>
<li class="align-eq-left">$$P(Y=+1) = p = \frac{1}{2}$$</li>
<li class="align-eq-left">$$P(Y=-1) = 1-p = \frac{1}{2}$$</li>
</ul>
<p>
Em seguida indexamos \(Y\) utilizando um inteiro não negativo \(k\) para identificar o \(k\)-ésimo passo realizado.
Sob a persepectiva de um passeio aleatório composto de \(t\) passos independentes, denotamos:
</p>
<ul>
<li>\(Y_1\) como sendo o sentido do \(1º\) passo;</li>
<li>\(Y_2\) como o sentido do \(2º\) passo;<br>...</li>
<li>\(Y_t\) como o sentido do \(t\)-ésimo e último passo.</li>
</ul>
<p>
Cada um dos passos aleatórios \(Y_k\) contribuirão da sua forma para o cálculo da <strong>posição final</strong>.
</p>
<h3 id="final-position">Posição Final</h3>
<p>
A posição final é uma das diversas variáveis passíveis de análise em um passeio aleatório. Partindo da posição
inicial \(0\) na reta real, a posição final \(X_t\) será obtida por meio da soma dos \(t\) passos realizados. Passos à frente contribuem em \(1\) para o somatório, enquanto passos para trás contribuem com \(-1\).
</p>
<p>
$$X_t=\sum_{k=1}^tY_k$$
</p>
<p>
Revisitando o conceito de realização apresentado na seção anterior, chamaremos de <strong>caminho</strong>
uma realização particular do passeio aleatório. Uma vez que o sentido
tomado por cada passo é independente e equiprovável, deduzimos que a probabilidade de ocorrência de um caminho
com \(t\) passos é igual a \((1/2)^t\).
</p>
<figure class="paths-example">
<img src="./assets/paths-example.png" />
<figcaption>Caminho com \(6\) passos</figcaption>
</figure>
<p>
$$P(X_6=-2)=\text{?}$$
</p>
<p>
Por exemplo, o caminho de \(6\) passos ilustrado acima tem probabilidade \((1/2)^6\) de acontecer.
E mesmo que sua posição final seja igual a \(-2\), atentemos que
</p>
<p>
$$P(X_6=-2)\neq\Big(\frac{1}{2}\Big)^6$$
</p>
<p>
pois existem outros caminhos de \(6\) passos que se encerram na posição \(-2\).
Como encontrar todos eles?
</p>
<p>
Para ir adiante com esse problema retrocederemos um pouco na complexidade e analisaremos um passeio aleatório
de apenas \(3\) passos.
</p>
<h4>Analisando os caminhos possíveis</h4>
<p>
Qual a probabilidade de que, partindo da posição inicial \(0\), se esteja na posição \(3\) com
exatos \(3\) passos?
Essa é simples. Se trata do caso especial onde todos os passos são dados à frente:
\(Y_1=Y_2=Y_3=+1\). Não existe nenhum outro caminho que satisfaça essas condições. Logo,
</p>
<p>
$$P(X_3=3)=1 \times \Big(\frac{1}{2}\Big)^3 =\frac{1}{8}$$
</p>
<p>
E qual a probabilidade de que esteja na posição \(-1\) com exatos \(3\) passos?
É díficil responder de imediato,
porém já temos pistas o suficiente para desconfiar que a resposta deve ser algo da forma:
</p>
<p>
$$P(X_3=-1)= \text{?}\times \Big(\frac{1}{2}\Big)^3 = \frac{\text{?}}{8}$$
</p>
<p>
onde \(\text{(?)}\) deve ser substituído por um inteiro positivo que represente a quantidade
de caminhos possíveis com \(3\) passos que se encerram na posição \(-1\). Por isso vamos construir
o raciocínio por partes.
</p>
</p>
<h4>Caminhos com 1 passo</h4>
<ul>
<li>Existem apenas \(2^1\) caminhos possíveis com \(t=1\) passo;</li>
<li>
Cada um deles têm probabilidade \((1/2)^1\);
</li>
<li>
E a variável posição final \(X_1\) toma valores em \(\{-1,1\}\).
</li>
</ul>
<div class="container-figures paths-1">
<figure>
<img src="./assets/paths-1-1.png" />
<figcaption>Caminho \([+1]\)</figcaption>
</figure>
<figure>
<img src="./assets/paths-1-2.png" />
<figcaption>Caminho \([-1]\)</figcaption>
</figure>
</div>
<h4>Caminhos com 2 passos</h4>
<ul>
<li>Existem \(2^2\) caminhos possíveis com \(t=2\) passos;</li>
<li>
Cada um deles têm probabilidade \((1/2)^2\);
</li>
<li>
E a variável posição final \(X_2\) toma valores em \(\{-2,0,2\}\).
</li>
</ul>
<div class="container-figures paths-2">
<figure>
<img src="./assets/paths-2-1.png" />
<figcaption>Caminho \([+1,+1]\)</figcaption>
</figure>
<figure>
<img src="./assets/paths-2-2.png" />
<figcaption>Caminho \([+1,-1]\)</figcaption>
</figure>
</div>
<div class="container-figures paths-2">
<figure>
<img src="./assets/paths-2-3.png" />
<figcaption>Caminho \([-1,+1]\)</figcaption>
</figure>
<figure>
<img src="./assets/paths-2-4.png" />
<figcaption>Caminho \([-1,-1]\)</figcaption>
</figure>
</div>
<h4>Caminhos com 3 passos</h4>
<ul>
<li>Existem \(2^3\) caminhos possíveis com \(t=3\) passos;</li>
<li>
Cada um deles têm probabilidade \((1/2)^3\);
</li>
<li>
E a variável posição final \(X_3\) toma valores em \(\{-3,-1,1,3\}\).
</li>
</ul>
<div class="container-figures paths-3">
<figure>
<img src="./assets/paths-3-1.png" />
<figcaption>Caminho \([+1,+1,+1]\)</figcaption>
</figure>
<figure>
<img src="./assets/paths-3-2.png" />
<figcaption>Caminho \([+1,+1,-1]\)</figcaption>
</figure>
<figure>
<img src="./assets/paths-3-3.png" />
<figcaption>Caminho \([+1,-1,+1]\)</figcaption>
</figure>
</div>
<div class="container-figures paths-3">
<figure>
<img src="./assets/paths-3-4.png" />
<figcaption>Caminho \([-1,+1,+1]\)</figcaption>
</figure>
<figure>
<img src="./assets/paths-3-5.png" />
<figcaption>Caminho \([+1,-1,-1]\)</figcaption>
</figure>
<figure>
<img src="./assets/paths-3-6.png" />
<figcaption>Caminho \([-1,+1,-1]\)</figcaption>
</figure>
</div>
<div class="container-figures paths-3">
<figure>
<img src="./assets/paths-3-7.png" />
<figcaption>Caminho \([-1,-1,+1]\)</figcaption>
</figure>
<figure>
<img src="./assets/paths-3-8.png" />
<figcaption>Caminho \([-1,-1,-1]\)</figcaption>
</figure>
</div>
<p>
Já temos o que é preciso para responder a questão levantada, basta identificar
quantos dos caminhos acima têm posição final igual a \(-1\). À propósito os caminhos são \([+1,-1,-1]\), \([-1,+1,-1]\) e
\([-1,-1,+1]\), sendo \(3\) de um total de \(8\). Logo,
</p>
<p>
$$P(X_3=-1)=3\times \Big(\frac{1}{2}\Big)^3=\frac{3}{8}$$
</p>
<h4>Caminhos com 4 passos</h4>
<p>Se prosseguíssemos com a análise iríamos descobrir que quando \(t=4\) passos:</p>
<ul>
<li>Existem \(2^4\) caminhos possíveis;</li>
<li>
Cada um deles têm probabilidade \((1/2)^4\);
</li>
<li>
E a variável posição final \(X_4\) toma valores em \(\{-4,-2,0,2,4\}\).
</li>
</ul>
<p>
Aos poucos vem ficando evidente que existe um padrão guiando a análise dos caminhos. Na verdade, todas as informações
levantadas possuem algum grau de relação com o número de passos \(t\):
</p>
<ul>
<li>A quantidade de caminhos possíveis é dada por \(2^t\);</li>
<li>
Cada um deles têm probabilidade \((1/2)^t\), ou seja, são equiprováveis;
</li>
<li>
A variável posição final \(X_t\) toma valores no conjunto simétrico \(\{-t,-t+2,-t+4,\text{...},t\}\).
</li>
<li>
E para calcular \(P(X_t=x)\) é necessário <strong>contar</strong>, dentre todos os \(2^t\) caminhos
possíveis, quantos possuem posição final igual a \(x\).
</li>
</ul>
<p>
Felizmente, graças ao gradioso matemático francês Blaise Pascal, somos poupados de continuar contando
caminhos exaustivamente. Podemos utilizar de um curioso arranjo triangular de números para
generalizar de uma vez por todas este problema. Estamos falando do
<strong>triângulo de Pascal</strong>.
</p>
<h3 id="pascal-triangle">Triângulo de Pascal</h3>
<p>
O triângulo de Pascal é uma abordagem sistemática e generalista de contar as maneiras possíveis de
selecionar
um subconjunto de elementos a partir de uma coleção. A figura abaixo ilustra os \(4\) primeiros níveis do
triângulo.
</p>
<figure class="paths-example">
<img src="./assets/pascal-triangle.png" />
<figcaption>Triângulo de Pascal</figcaption>
</figure>
<p>
É possível estender a quantidade de níveis iterativamente. Para isso basta seguir o procedimento
de somar os números das diagonais ligeiramente acima. Por exemplo, as setas azuis na
figura indicam como
o conteúdo do nível \(4\) foi obtido a partir do nível \(3\). Caso um dos elementos diagonais não existam
no nível acima,
como acontece nas bordas do triângulo, então assume-se contribuição \(0\) para a soma.
</p>
<blockquote>
Se desejar, confirme que o nível \(t=5\) deve ser composto pelos números \(1,5,10,10,5,1\).
</blockquote>
<h4>Amarrando o triângulo ao passeio</h4>
<p>
As seguintes associações são válidas entre o triângulo e o passeio aleatório simétrico:
</p>
<ul>
<li>O nível \(t\) do triângulo corresponde a quantidade de passos \(t\) do passeio aleatório;</li>
<li>A soma dos números do nível \(t\) do triângulo corresponde à quantidade total de caminhos possíveis
\(2^t\);</li>
<li>A quantidade de números do nível \(t\) corresponde à quantidade de posições finais
alcançáveis com \(t\) passos;
</li>
<li>Um número do nível \(t\) corresponde à contagem de caminhos possíveis de uma das posições finais alcançáveis
com \(t\) passos. O mapeamento é feito em ordem.
</li>
</ul>
<p>Talvez fique mais intuitivo em um desenho. Vamos validar essas associações revisitando alguns exemplos:</p>
<figure class="triangle-prob">
<img src="./assets/link-triangle-prob-1.png" />
<figcaption>Prob. de chegar à posição final \(-1\) com \(3\) passos</figcaption>
</figure>
<figure class="triangle-prob">
<img src="./assets/link-triangle-prob-2.png" class="large" />
<figcaption>Prob. de chegar à posição final \(-2\) com \(6\) passos</figcaption>
</figure>
<p>
Com este procedimento é possível encontrar a distribuição de probabilidade da variável aleatória posição
final \(X_t\) para qualquer que seja a quantidade de passos \(t\) definida.
</p>
<blockquote>
Essa é a metodologia utilizada para encontrar as probabilidades teóricas da simulação!
</blockquote>
<h3 id="probability-distributions">Distribuições de Probabilidade</h3>
<p>
Até agora calculamos apenas probabilidades pontuais: especificando a quantidade de passos e a posição
final desejada. Mas podemos, pensando de forma mais ampla, ter interesse em obter as probabilidades
de todas as posições finais alcançáveis com \(t\) passos. Como proceder nessa situação? Basta repetir
o procedimento da seção anterior utilizando cada número do nível \(t\) do triângulo.
</p>
<p>
Revisitando o exemplo onde \(t=6\) passos:
</p>
<div class="container-figures dists">
<figure class="dist-example">
<img src="./assets/dist_example.png" />
<figcaption></figcaption>
</figure>
<figure>
<img src="./assets/dist_6.svg" />
<figcaption>Distribuição de \(X_6\)</figcaption>
</figure>
</div>
<p>
Acabamos de obter a distribuição de probabilidade da variável aleatória \(X_6\).
</p>
<p>A <strong>distribuição
de probabilidade</strong> de uma variável aleatória descreve como as probabilidades estão distribuídas
sobre
todos os valores os quais é possível assumir. No contexto de uma variável aleatória discreta, uma
distribuição
é considerada válida se:
</p>
<ol>
<li>Todas as probabilidades são números reais não negativos;</li>
<li>A soma das probabilidades é igual a \(1\).</li>
</ol>
<p>
A sequência de figuras abaixo apresenta a distribuição de probabilidade da posição final para diferentes números de
passos.
</p>
<div class="container-figures dists">
<figure>
<img src="./assets/dist_1.svg" />
<figcaption>Distribuição de \(X_1\)</figcaption>
</figure>
<figure>
<img src="./assets/dist_2.svg" />
<figcaption>Distribuição de \(X_2\)</figcaption>
</figure>
<figure>
<img src="./assets/dist_3.svg" />
<figcaption>Distribuição de \(X_3\)</figcaption>
</figure>
<figure>
<img src="./assets/dist_10.svg" />
<figcaption>Distribuição de \(X_{10}\)</figcaption>
</figure>
<figure>
<img src="./assets/dist_19.svg" />
<figcaption>Distribuição de \(X_{19}\)</figcaption>
</figure>
</div>
<blockquote>
Perceba a simetria ao redor da posição inicial \(0\).
</blockquote>
<p>
A sequência de variáveis aleatórias que modelam a posição final de um passeio aleatório \(\{X_t,
t=1,2,3\text{...}\}\)
é um processo estocástico. A quantidade de passos \(t\)
é dita ser o tempo do processo, e a união de todas posições finais alcançáveis constituem o espaço de estados.
</p>
<h2 id="about-simulation">Sobre a Simulação</h2>
<p>
Esta é uma seção extra que cobre alguns pontos específicos sobre o funcionamento da simulação. Se você tem dúvidas
quanto à utilização dos controles ou quer descobrir o porquê da frequência relativa se aproximar da
probabilidade teórica, então as respostas estão aqui.
</p>
<h3 id="controls">Controles</h3>
<p>
O gerenciamento sobre a simulação é mantido através de dois grupos de controle: os controles de criação e
os controles de execução. Alterações nas configurações de criação iniciam automaticamente uma nova simulação
com base no novo contexto de passos e caminhos.
Por outro lado, interagir com os controles de execução interfere no comportamento da simulação em andamento.
</p>
<h4>Controles de criação</h4>
<div class="controls-description-grid">
<div class="range-like">
<div></div>
</div>
<div>
<h5 class="control-title">Passos</h5>
<p>
Designa a quantidade de passos a serem percorridos pelo passeio. Possui valor default igual a \(10\),
mas pode assumir qualquer valor inteiro no intervalo \([1,30]\).
</p>
</div>
<div class="select-like">10<span class="icon-chevron"><i class="fa-solid fa-chevron-down"></i></span></div>
<div>
<h5 class="control-title">Caminhos</h5>
<p>
Designa a quantidade de caminhos a serem gerados aleatoriamente. Possui valor default igual a \(10\),
mas pode assumir qualquer um dos valores em \(\{10, 50, 100, 200, 500, 1000\}\).
</p>
</div>
</div>
<h4>Controles de execução</h4>
<div class="controls-description-grid">
<div class="button-like"><i class="fa-solid fa-play"></i> <i class="fa-solid fa-pause"></i></div>
<div>
<h5 class="control-title">Play/Pause</h5>
<p>
Interrompe/retoma a execução da simulação.
</p>
</div>
<div class="button-like"><i class="fa-solid fa-backward"></i></div>
<div>
<h5 class="control-title">Desacelerar</h5>
<p>
Diminui a velocidade de execução da simulação por um fator de \(0.5\).
</p>
</div>
<div class="button-like"><i class="fa-solid fa-forward"></i></div>
<div>
<h5 class="control-title">Acelerar</h5>
<p>
Aumenta a velocidade de execução da simulação por um fator de \(2\).
</p>
</div>
<div class="button-like"><i class="fa-solid fa-arrow-rotate-right"></i></div>
<div>
<h5 class="control-title">Reiniciar simulação</h5>
<p>
Reinicia a simulação utilizando os mesmos dados que a trouxe até o estado atual de execução.
</p>
</div>
<div class="button-like"><i class="fa-solid fa-shuffle"></i></div>
<div>
<h5 class="control-title">Nova simulação</h5>
<p>
Inicia uma nova simulação através da geração aleatória de novos caminhos.
</p>
</div>
</div>
<h3 id="relative-frequency">Frequência Relativa</h3>
<p>
Pode-se dizer que o propósito da simulação se resume a acompanhar a frequência relativa se aproximar da probabilidade
teórica.
</p>
<p>
A cada novo caminho aleatório gerado, a atenção se volta à posição final alcançada. Tanto isso
é verdade que o gráfico mais à esquerda explicita o valor da posição final sempre que um novo
caminho é traçado.
</p>
<p>
Por trás dos panos a simulação mantém variáveis contadoras para armazenar quantas vezes cada posição final
foi observada. Estas variáveis representam a <strong>frequência absoluta</strong> \(f_a\) destas posições.
Sempre ao iniciar uma nova simulação, as contagens são zeradas.
</p>
<p>
A <strong>frequência relativa</strong> \(f_r\), por sua vez, é definida como a relação entre a frequência
absoluta e
o número total de observações \(n\). No contexto do passeio, \(n\) é dado pela quantidade de caminhos aleatórios
já gerados pela simulação.
</p>
<p>$$f_r=\frac{f_a}{n}$$</p>
<p>
Por exemplo, vejamos a evolução da frequência relativa ao longo da simulação de \(50\) caminhos aleatórios
compostos por \(6\) passos:
</p>
<div class="container-figures relative-frequency">
<table class="frequency">
<thead>
<td>Posição final</td>
<td>\(f_a\)</td>
<td>\(f_r\)</td>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td>\(-6\)</td>
<td>\(0\)</td>
<td>\(0\)</td>
</tr>
<tr>
<td>\(-4\)</td>
<td>\(0\)</td>
<td>\(0\)</td>
</tr>
<tr>
<td>\(-2\)</td>
<td>\(0\)</td>
<td>\(0\)</td>
</tr>
<tr>
<td>\(0\)</td>
<td>\(1\)</td>
<td>\(1\)</td>
</tr>
<tr>
<td>\(2\)</td>
<td>\(0\)</td>
<td>\(0\)</td>
</tr>
<tr>
<td>\(4\)</td>
<td>\(0\)</td>
<td>\(0\)</td>
</tr>
<tr>
<td>\(6\)</td>
<td>\(0\)</td>
<td>\(0\)</td>
</tr>
</tbody>
<tfoot>
<td>Total:</td>
<td>\(1\)</td>
<td>\(1\)</td>
</tfoot>
</table>
<figure>
<img src="./assets/relative-freq-1.png" />
<figcaption>Após gerado \(1/50\) caminhos</figcaption>
</figure>
</div>
<div class="container-figures relative-frequency">
<table class="frequency">
<thead>
<td>Posição final</td>
<td>\(f_a\)</td>
<td>\(f_r\)</td>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td>\(-6\)</td>
<td>\(0\)</td>
<td>\(0\)</td>
</tr>
<tr>
<td>\(-4\)</td>
<td>\(0\)</td>
<td>\(0\)</td>
</tr>
<tr>
<td>\(-2\)</td>
<td>\(1\)</td>
<td>\(0.2\)</td>
</tr>
<tr>
<td>\(0\)</td>
<td>\(3\)</td>
<td>\(0.6\)</td>
</tr>
<tr>
<td>\(2\)</td>
<td>\(1\)</td>
<td>\(0.2\)</td>
</tr>
<tr>
<td>\(4\)</td>
<td>\(0\)</td>
<td>\(0\)</td>
</tr>
<tr>
<td>\(6\)</td>
<td>\(0\)</td>
<td>\(0\)</td>
</tr>
</tbody>
<tfoot>
<td>Total:</td>
<td>\(5\)</td>
<td>\(1\)</td>
</tfoot>
</table>
<figure>
<img src="./assets/relative-freq-5.png" />
<figcaption>Após gerados \(5/50\) caminhos</figcaption>
</figure>
</div>
<div class="container-figures relative-frequency">
<table class="frequency">
<thead>
<td>Posição final</td>
<td>\(f_a\)</td>
<td>\(f_r\)</td>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td>\(-6\)</td>
<td>\(0\)</td>
<td>\(0\)</td>