Skip to content

Latest commit

 

History

History
186 lines (144 loc) · 13.6 KB

geoma.md

File metadata and controls

186 lines (144 loc) · 13.6 KB
Raw

1. Прямоугольная система координат в пространстве и координаты вектора

Прямоугольная система координат в пространстве задана, если выбрана точка начала коодинат, через эту точку проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из которых выбрано направление и задана единица измерения.

Координаты вектора $\vec{a}$ в пространстве определяются как разность координат его начальной и конечной точек. Пусть начальная точка вектора $\vec{a}$имеет координаты $A(x_1, y_1, z_1)$, а конечная — $B(x_2, y_2, z_2)$. Тогда координаты вектора $\vec{a}$ будут: $$ \vec{a} = {x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1} $$

2. Связь между координатами векторов и координатами точек

Координаты вектора, соединяющего две точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$, равны разностям соответствующих координат этих точек. Таким образом, координаты вектора $\vec{AB}$ равны $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$.

Координаты любой точки равны соответсвующим координатам ее радиус вектора.

3. Длина вектора по его координатам

Длину вектора $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ можно вычислить по формуле: $$ |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}. $$

[!info] Доказательство Через куб и теорему Пифагора. $$ \begin{align*} \vec{OA}^2 &= OA_1^2 + OA_2^2 + OA_3^2, \ |\vec{OA_1}| &= OA_1, |\vec{OA_1}| = x\vec{i} \ |\vec{OA_2}| &= OA_2, |\vec{OA_2}| = y\vec{j} \ |\vec{OA_3}| &= OA_3, |\vec{OA_3}| = z\vec{k} \ |\vec{OA}| &= \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \end{align*} $$

Если известны координаты начальной и конечной точек вектора $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$, то длина вектора $\vec{AB}$ вычисляется как: $$ |\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}. $$

4. Координаты середины отрезка через координаты его концов

Координаты середины отрезка $AB $с концами в точках $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$ можно найти как среднее арифметическое координат этих точек: $$ M \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right). $$

[!info] Доказательство хз

5. Расстояние между двумя точками с заданными координатами

Расстояние между двумя точками $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$ можно найти по формуле: $$ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}. $$

[!warning] Доказательство И в чем отличие от 3 пункта?

6. Координаты точки пересечения медиан треугольника через координаты его вершин

Пусть вершины треугольника имеют координаты $A(x_1, y_1, z_1)$, $B(x_2, y_2, z_2)$, $C(x_3, y_3, z_3)$. Тогда точка пересечения медиан (центр тяжести) $G $имеет координаты: $$ G \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3} \right). $$

[!info]- Доказательство ![[Pasted image 20241110150706.png]]

7. Скалярное произведение векторов и условие перпендикулярности

Скалярным произведеним двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними: $$ \vec{a}\vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot cos(\vec{a}\vec{b}) $$

Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти вектроы перпендикулярны.

8. Основные свойства скалярного произведения

  1. $\vec{a}^2 \geq 0$, причём $\vec{a}^2 > 0$ при $\vec{a} \neq 0$.
  2. $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ (переместительный закон).
  3. $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$ (распределительный закон).
  4. $k (\vec{a} \cdot \vec{b}) = (k \vec{a}) \cdot \vec{b}$ (сочетательный закон).

[!info] Доказательство хз

9. Формула косинуса угла между ненулевыми векторами

Косинус угла $\theta$ между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$и $\vec{b}$ с координатами $(a_x, a_y, a_z)$и $(b_x, b_y, b_z)$ соответственно, можно вычислить по формуле: $$ \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \cdot \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}}. $$

[!info] Доказательство Выше по сути и есть вывод. Первый этап получен из формулы скалярного произведения: $\vec{a}\vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot cos(\vec{a}\vec{b})$ Ну а дально просто подстановка длин и другой формулы скалярного произведения.

10. Угол между двумя прямыми в пространстве с помощью направляющих векторов

Угол между прямыми в пространстве можно найти, используя скалярное произведение направляющих векторов этих прямых. Угол между прямыми будет равен углу между их направляющими векторами, и его можно вычислить по следующей формуле: $$ \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} $$

11. Доказательство, что центральная и осевая симметрии являются движениями

Центральная:

Докажем, что центральная симметрия является движением. Обозначим точку $O$ как центр симметрии и введём прямоугольную систему координат $Oxyz$ с началом в точке $O$. Установим связь между координатами двух точек $M(x, y, z)$ и $M_1(x_1, y_1, z_1)$, симметричных относительно точки $O$.

Пусть точка $O$ является серединой отрезка $MM_1$. Тогда по формуле координат середины отрезка имеем: $$ \frac{x + x_1}{2} = 0, \quad \frac{y + y_1}{2} = 0, \quad \frac{z + z_1}{2} = 0. $$ Отсюда $x_1 = -x$, $y_1 = -y$, $z_1 = -z$.

Эти формулы остаются верными, если точка $M$ совпадает с точкой $O$, так как в этом случае $x = 0$, $y = 0$, $z = 0$, и симметричная точка также совпадает с $O$.

Рассмотрим теперь две точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$ и докажем, что расстояние между симметричными им точками $A_1$ и $B_1$ равно $AB$. Координаты точек $A_1$ и $B_1$ будут $A_1(-x_1, -y_1, -z_1)$ и $B_1(-x_2, -y_2, -z_2)$.

По формуле расстояния между двумя точками: $$ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}, $$ $$ A_1B_1 = \sqrt{(-x_2 + x_1)^2 + (-y_2 + y_1)^2 + (-z_2 + z_1)^2}. $$ Ясно, что $AB = A_1B_1$, что и требовалось доказать. Следовательно, центральная симметрия сохраняет расстояние, то есть является движением.

Осевая

Докажем, что осевая симметрия является движением.

  1. Введём прямоугольную систему координат $Oxyz$, где ось $Oz$ совпадает с осью симметрии.
  2. Пусть есть две точки $M(x, y, z)$ и $M_1(x_1, y_1, z_1)$, симметричные относительно оси $Oz$.
    • Если точка $M$ не лежит на оси $Oz$, то ось $Oz$ будет проходить через середину отрезка $MM_1$ и перпендикулярна к нему.
    • По формулам для координат середины отрезка имеем: $$\frac{x + x_1}{2} = 0 \quad \text{и} \quad \frac{y + y_1}{2} = 0$$ откуда $x_1 = -x$ и $y_1 = -y$.
    • При этом аппликаты точек $M$ и $M_1$ равны: $z_1 = z$. Эти формулы остаются верными и для случая, когда точка $M$ лежит на оси $Oz$ (поскольку в этом случае $x = x_1 = 0$ и $y = y_1 = 0$).
  3. Теперь рассмотрим любые две точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$ и докажем, что расстояния между ними и их симметричными точками $A_1(-x_1, -y_1, z_1)$ и $B_1(-x_2, -y_2, z_2)$ равны.
    • Расстояние $AB$ между точками $A$ и $B$ равно: $$ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} $$
    • Расстояние $A_1B_1$ между симметричными точками $A_1$ и $B_1$ равно: $$ A_1B_1 = \sqrt{(-x_2 + x_1)^2 + (-y_2 + y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} $$
    • Видно, что $AB = A_1B_1$, что и доказывает, что осевая симметрия сохраняет расстояния и является движением.

12. Доказательство, что зеркальная симметрия и параллельный перенос являются движениями

Зеркальная

Чтобы доказать, что зеркальная симметрия относительно плоскости $Oxy$ является движением (т.е., сохраняет расстояние между точками), рассмотрим следующее.

  1. Рассмотрение симметричных точек: Пусть $M(x, y, z)$ и $M_1(x_1, y_1, z_1)$ — пара симметричных точек относительно плоскости $Oxy$. Так как плоскость симметрии $Oxy$ проходит через середину отрезка $MM_1$, и этот отрезок перпендикулярен к плоскости $Oxy$, это значит:
    • $x_1 = x$,
    • $y_1 = y$,
    • $z_1 = -z$. Таким образом, координаты симметричной точки $M_1$ относительно $M$ будут $M_1(x, y, -z)$.
  2. Проверка расстояния между симметричными точками: Теперь рассмотрим любые две точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$ с симметричными им точками $A_1(x_1, y_1, -z_1)$ и $B_1(x_2, y_2, -z_2)$. Вычислим расстояние $AB$ и $A_1B_1$: $$ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} $$ $$ A_1B_1 = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + ((-z_2) - (-z_1))^2} $$ Заметим, что $((-z_2) - (-z_1))^2 = (z_2 - z_1)^2$, поэтому $AB = A_1B_1$.

Таким образом, зеркальная симметрия сохраняет расстояние между любыми двумя точками, что и требовалось доказать.

Параллельный перенос

Чтобы доказать, что параллельный перенос является движением, воспользуемся следующим:

При параллельном переносе на вектор $\vec{p}$ любые две точки $A$ и $B$ переходят в точки $A_1$ и $B_1$ так, что $AA_1 = \vec{p}$ и $BB_1 = \vec{p}$.

Требуется показать, что расстояние между точками $A_1$ и $B_1$ такое же, как и между $A$ и $B$, то есть $A_1B_1 = AB$.

По правилу треугольника, $AB_1 = AA_1 + A_1B_1$. С другой стороны, $AB_1 = AB + BB_1$.

Из этих двух выражений: $$ AA_1 + A_1B_1 = AB + BB_1 $$ или $$ \vec{p} + A_1B_1 = AB + \vec{p} $$

Убирая $\vec{p}$ с обеих сторон, получаем $A_1B_1 = AB$.

Таким образом, расстояние между точками не изменилось, значит, параллельный перенос сохраняет расстояния и является движением.