直线是欧几里得几何学中的基本几何对象之一，可以用数学方式进行定义。
设有两个点
上述等式称为点斜式，它表达了直线上的任意两点之间的比例关系。
另一种常见的定义是使用向量。设有一个点
其中
直线还可以通过一般式方程表示为
常见表达方式
- 点斜式：
直线上的任意一点 $$ (x_1, y_1) $$ 和直线的斜率 $$ m $$ 决定了直线的方程。点斜式的方程为：
其中 $$ (x_1, y_1) $$ 是直线上的一点，$$ m $$ 是直线的斜率。
- 截距式：
直线与坐标轴的交点称为截距，一般地，直线与 $$ y $$ 轴的交点为 $$ (0, b)
其中 $$ m $$ 是直线的斜率，$$ b $$ 是 $$ y $$ 轴的截距。
- 一般式：
直线的一般式方程为：
其中 $$ A
这些是直线方程的一些基本形式。选择哪种形式通常取决于问题的要求和给定的信息。
程序使用一般式进行直线方程的表达，相关代码如下。
#[derive(Debug)]
pub struct LinearEquation {
pub A: f64,
pub B: f64,
pub C: f64,
}
点斜式到一般式的转换涉及到将点斜式的方程
假设点斜式的方程为
-
将点斜式方程展开得到标准形式：
$$ y - y_1 = m(x - x_1) $$
展开后得：
$$ y - y_1 = mx - mx_1 $$
将
$$y$$ 项移到右边：$$ y = mx - mx_1 + y_1 $$
-
将方程整理为一般式
$$Ax + By + C = 0$$ ：$$ y = mx - mx_1 + y_1 $$
移项得：
$$ -mx + y = -mx_1 + y_1 $$
令
$$A = -m, B = 1, C = -mx_1 + y_1$$ ，则一般式为：$$ -mx + y - (-mx_1 + y_1) = 0 $$
简化得：
$$ -mx + y + mx_1 - y_1 = 0 $$
最终的一般式为：
$$ mx_1 - y_1 - mx + y = 0 $$
或者写成：
$$ mx - y + (y_1 - mx_1) = 0 $$
因此，点斜式到一般式的转换结果为：
程序解如下
// 从点斜式参数创建一般式方程
// x1, y1 是直线上的一点
// slope 是直线的斜率
pub fn from_point_slope(x1: f64, y1: f64, slope: f64) -> Self {
// 一般式方程的 A 系数为 -slope
let A = -slope;
// 一般式方程的 B 系数为 1
let B = 1.0;
// 一般式方程的 C 系数为 y1 - slope * x1
let C = y1 - slope * x1;
// 创建并返回一般式方程的实例
LinearEquation { A, B, C }
}
要将一般式 (Ax + By + C = 0) 的直线方程转换为点斜式 (y = mx + b) 形式，其中 (m) 是斜率，((x_0, y_0)) 是直线上的一点，可以按照以下步骤进行：
-
解出 (y)： 将 (Ax + By + C = 0) 中的 (By) 移项，并除以 (B)，得到 (y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B})。
-
标出斜率 (m) 和截距 (b)： 对比 (y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}) 与 (y = mx + b)，得到斜率 (m = -\frac{A}{B})。
-
找到直线上的一点 ((x_0, y_0))： 选择一个点，比如令 (x_0 = 0)，然后计算相应的 (y_0)，即 (y_0 = -\frac{C}{B})。
程序解如下
pub fn to_point_slope_form(&self) -> Option<(f64, (f64, f64))> {
if self.B != 0.0 {
let slope = -self.A / self.B;
let point = (0.0, -self.C / self.B);
Some((slope, point))
} else {
None // 如果 B 为零，斜率不存在
}
}
截距式方程表示为
-
将截距式方程移项得到标准形式：
$$ y - mx = b $$
-
将
$$y$$ 项移到右边：$$ -mx + y = b $$
-
令
$$A = -m, B = 1, C = -b$$ ，则一般式为：$$ -mx + y - b = 0 $$
-
简化得：
$$ -mx + y - b = 0 $$
因此，截距式到一般式的转换结果为：
程序解如下
// 将截距式方程转换为一般式方程
pub fn from_slope_intercept(m: f64, b: f64) -> Self {
// 一般式方程的 A 系数为 -m
let A = -m;
// 一般式方程的 B 系数为 1
let B = 1.0;
// 一般式方程的 C 系数为 -b
let C = -b;
// 创建并返回一般式方程的实例
LinearEquation { A, B, C }
}
要将一般式
-
解出
$$y$$ ： 将$$Ax + By + C = 0$$ 中的$$By$$ 移项，并除以$$B$$ ，得到$$y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}$$ 。 -
标出斜率
$$m$$ 和截距$$b$$ ： 对比$$y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}$$ 与$$y = mx + b$$ ，得到斜率$$m = -\frac{A}{B}$$ 和截距$$b = -\frac{C}{B}$$ 。
程序解如下
pub fn to_slope_intercept_form(&self) -> Option<(f64, f64)> {
if self.B != 0.0 {
let slope = -self.A / self.B;
let intercept = -self.C / self.B;
Some((slope, intercept))
} else {
None // 如果 B 为零，斜率不存在
}
}
要进行直线方程的平移操作，可以通过修改方程中的常数项来实现。考虑一般式的直线方程
-
沿 x 轴平移： 将
$$C$$ 增加$$h$$ ，方程变为$$Ax + By + (C + h) = 0$$ 。 -
沿 y 轴平移： 将
$$C$$ 增加$$k$$ ，方程变为$$Ax + By + (C + k) = 0$$ 。
程序解如下
// 将直线沿 x 轴平移 h 个单位，返回新的直线方程
pub fn translate_along_x(&self, h: f64) -> LinearEquation {
LinearEquation {
A: self.A,
B: self.B,
C: self.C + h,
}
}
// 将直线沿 y 轴平移 k 个单位，返回新的直线方程
pub fn translate_along_y(&self, k: f64) -> LinearEquation {
LinearEquation {
A: self.A,
B: self.B,
C: self.C + k,
}
}
对于直线方程的旋转，可以使用旋转矩阵的方法。考虑一般式的直线方程
-
定义旋转矩阵：
$$ R = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} $$
-
定义向量 $$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix}$$ 表示原始直线上的点。
-
计算旋转后的向量
$$\mathbf{v'}$$ ：$$ \mathbf{v'} = R \cdot \mathbf{v} $$
-
将旋转后的向量代入一般式方程，得到新的直线方程。
程序解如下
// 将直线绕原点逆时针旋转 theta 弧度，返回新的直线方程
pub fn rotate_around_origin(&self, theta: f64) -> LinearEquation {
let cos_theta = theta.cos();
let sin_theta = theta.sin();
// 定义旋转矩阵
let rotation_matrix = [
[cos_theta, -sin_theta],
[sin_theta, cos_theta],
];
// 计算新的系数
let new_A = self.A * rotation_matrix[0][0] + self.B * rotation_matrix[0][1];
let new_B = self.A * rotation_matrix[1][0] + self.B * rotation_matrix[1][1];
let new_C = self.C;
// 返回新的直线方程
LinearEquation {
A: new_A,
B: new_B,
C: new_C,
}
}
要将直线绕任意一点旋转一定角度，可以采用平移和旋转的组合操作。以下是基于数学原理的步骤：
假设直线方程为
-
平移操作： 将直线方程平移到原点附近，即将点
$$(x_0, y_0)$$ 移动到原点。这可以通过将方程两边都减去$$Ax_0 + By_0 + C$$ 来实现。$$ A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0 $$
-
旋转操作： 对平移后的方程进行旋转，即使用旋转矩阵。对于逆时针旋转角度
$$\theta$$ 的旋转矩阵：$$ R = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} $$
旋转后的方程为：
$$ (A \cos(\theta) - B \sin(\theta))(x - x_0) + (A \sin(\theta) + B \cos(\theta))(y - y_0) = 0 $$
-
还原操作： 将旋转后的方程还原到原始坐标系，即将点
$$(x_0, y_0)$$ 移回原来的位置。这可以通过在方程两边加上$$Ax_0 + By_0 + C$$ 来实现。$$ (A \cos(\theta) - B \sin(\theta))(x - x_0) + (A \sin(\theta) + B \cos(\theta))(y - y_0) + Ax_0 + By_0 + C = 0 $$
程序解如下
// 将直线绕任意点逆时针旋转 theta 弧度，返回新的直线方程
pub fn rotate_around_point(&self, theta: f64, center: (f64, f64)) -> LinearEquation {
// 计算旋转矩阵
let cos_theta = theta.cos();
let sin_theta = theta.sin();
// 将直线平移到旋转中心
let mut translated_line = self.translate(-center.0, -center.1);
// 应用旋转矩阵
let new_A = self.A * cos_theta - self.B * sin_theta;
let new_B = self.A * sin_theta + self.B * cos_theta;
// 更新新的系数
translated_line.A = new_A;
translated_line.B = new_B;
// 将直线还原到原来的位置
translated_line.translate(center.0, center.1)
}
// 将直线沿 x 轴平移 h 个单位，沿 y 轴平移 k 个单位
pub fn translate(&self, h: f64, k: f64) -> LinearEquation {
LinearEquation {
A: self.A,
B: self.B,
C: self.C + self.A * h + self.B * k,
}
}
已知直线的一般式方程为
-
与 X 轴的夹角： 直线与 X 轴的夹角可以通过斜率来求解。斜率
$$m$$ 可以通过一般式方程中的系数$$A$$ 和$$B$$ 计算：$$ m = -\frac{A}{B} $$
直线与 X 轴的夹角
$$\alpha$$ 满足：$$ \tan(\alpha) = m $$
因此，直线与 X 轴的夹角为
$$\alpha = \arctan(m)$$ 。 -
与 Y 轴的夹角： 直线与 Y 轴的夹角与与 X 轴的夹角之差为 90 度。因此，直线与 Y 轴的夹角为
$$90^\circ - \alpha$$ 。
程序解如下
// 计算直线与 X 轴和 Y 轴的夹角（弧度）
pub fn angles_with_axes(&self) -> (f64, f64) {
// 计算斜率
let slope = -self.A / self.B;
// 计算与 X 轴的夹角
let angle_with_x_axis = slope.atan();
// 计算与 Y 轴的夹角
let angle_with_y_axis = PI / 2.0 - angle_with_x_axis;
(angle_with_x_axis, angle_with_y_axis)
}
直线方程之间的关系涉及到它们的斜率和截距。以下是关于两条直线之间相交、平行和垂直关系的解释：
两条直线相交的条件是它们的斜率不相等，或者其中一条直线是垂直线。如果两条直线的斜率都存在且不相等，它们就相交。
数学表达： $$ m_1 \neq m_2 \quad \text{或} \quad m_1 \cdot m_2 = -1 $$ 其中，$$ m_1 $$ 和 $$ m_2 $$ 分别是两条直线的斜率。
两条直线平行的条件是它们的斜率相等，且不是垂直线。如果两条直线的斜率相等且不是垂直线，它们就平行。
数学表达： $$ m_1 = m_2 \quad \text{且} \quad m_1 \cdot m_2 \neq -1 $$ 其中，$$ m_1 $$ 和 $$ m_2 $$ 分别是两条直线的斜率。
两条直线垂直的条件是它们的斜率乘积等于 -1。如果两条直线的斜率乘积等于 -1，它们就垂直。
数学表达： $$ m_1 \cdot m_2 = -1 $$ 其中，$$ m_1 $$ 和 $$ m_2 $$ 分别是两条直线的斜率。
两条直线的一般形式方程分别为： $$ Ax + By + C_1 = 0 $$ $$ Ax + By + C_2 = 0 $$
两条直线的斜率分别为 $$ -\frac{A}{B}
一条垂直于 X 轴的直线的斜率是不存在的（无穷大）。如果一条直线的斜率为无穷大，它与任何斜率存在的直线相交。两条垂直于 X 轴的直线的相交条件是它们的 X 截距相等。
数学表达： $$ \text{如果直线 } A_1x + B_1y + C_1 = 0 \text{ 垂直于 X 轴，则 } B_1 = 0 $$
一条垂直于 Y 轴的直线的斜率是零。两条垂直于 Y 轴的直线平行的条件是它们的 Y 截距相等。
数学表达： $$ \text{如果直线 } A_1x + B_1y + C_1 = 0 \text{ 垂直于 Y 轴，则 } A_1 = 0 $$
- 如果一条直线垂直于 X 轴，而另一条直线的斜率存在，则它们相交。
- 如果一条直线垂直于 Y 轴，而另一条直线的斜率存在，则它们平行。
程序解如下
// 判断直线是否垂直于 X 轴
pub fn is_vertical_to_x_axis(&self) -> bool {
self.B == 0.0
}
// 判断直线是否垂直于 Y 轴
pub fn is_vertical_to_y_axis(&self) -> bool {
self.A == 0.0
}
// 判断两条直线是否相交
pub fn are_intersecting(&self, other: &LinearEquation) -> bool {
!(self.is_parallel_to(other) || self.is_equal_to(other))
}
// 判断两条直线是否平行
pub fn are_parallel(&self, other: &LinearEquation) -> bool {
self.A * other.B == self.B * other.A
}
// 判断两条直线是否垂直
pub fn are_perpendicular(&self, other: &LinearEquation) -> bool {
self.A * other.A + self.B * other.B == 0.0
}
// 判断两条直线是否相等
pub fn is_equal_to(&self, other: &LinearEquation) -> bool {
self.A == other.A && self.B == other.B && self.C == other.C
}
// 获取直线的斜率
pub fn slope(&self) -> Option<f64> {
if self.is_vertical_to_x_axis() {
None // 斜率不存在
} else {
Some(-self.A / self.B)
}
}
判断点与直线的位置关系通常涉及将点的坐标代入直线方程，并观察方程的结果。点与直线的位置关系有三种可能的情况：
-
点在直线上： 如果点的坐标满足直线方程，即将点的坐标代入直线方程后等式成立，那么点在直线上。
直线方程：$$Ax + By + C = 0$$，点
$$(x_0, y_0)$$ 在直线上的条件是$$Ax_0 + By_0 + C = 0$$ 。 -
点在直线的上方或下方： 如果点的坐标代入直线方程后等式不成立，那么可以判断点在直线的上方还是下方。可以通过直线方程的符号来确定。
- 如果
$$Ax_0 + By_0 + C > 0$$ ，则点在直线的上方。 - 如果
$$Ax_0 + By_0 + C < 0$$ ，则点在直线的下方。
- 如果
-
点不在直线上： 如果点的坐标代入直线方程后等式不成立，并且点不在直线的上方或下方，那么点不在直线上。
程序解如下
// 判断点与直线的位置关系
pub fn point_line_relationship(&self, point: &Point2D) -> PointLineRelationship {
let result = self.A * point.x + self.B * point.y + self.C;
if result == 0.0 {
PointLineRelationship::OnLine
} else if result > 0.0 {
PointLineRelationship::AboveLine
} else {
PointLineRelationship::BelowLine
}
}
要判断一条直线和一个圆是否相切，可以考虑直线与圆的位置关系。如果直线与圆相切，那么直线必定是圆的切线，且切点是唯一的。
给定一条直线的一般式方程
-
计算直线到圆心的距离：
$$ d = \frac{|Ah + Bk + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$
-
如果
$$d = r$$ ，则直线和圆相切。
程序解如下
// 判断直线与圆是否相切
pub fn is_tangent_to_circle(&self, circle: &Circle) -> bool {
// 计算直线到圆心的距离
let distance_to_center = (self.A * circle.x + self.B * circle.y + self.C).abs()
/ f64::sqrt(self.A.powi(2) + self.B.powi(2));
// 判断是否相切（距离差小于 EPSILON，考虑浮点数误差）
(distance_to_center - circle.radius).abs() < EPSILON
}