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53.maximum-sum-subarray-cn.md

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题目地址(53. 最大子序和)

https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray/

题目描述

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例:

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。
进阶:

如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的分治法求解。

前置知识

公司

  • 阿里
  • 百度
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  • linkedin
  • microsoft

思路

这道题求解连续最大子序列和，以下从时间复杂度角度分析不同的解题思路。

解法一 - 暴力解 （暴力出奇迹， 噢耶！）

一般情况下，先从暴力解分析，然后再进行一步步的优化。

原始暴力解：（超时）

求子序列和，那么我们要知道子序列的首尾位置，然后计算首尾之间的序列和。用 2 个 for 循环可以枚举所有子序列的首尾位置。 然后用一个 for 循环求解序列和。这里时间复杂度太高，O(n^3).

复杂度分析

  • 时间复杂度：$O(N ^ 3)$, 其中 N 是数组长度
  • 空间复杂度：$O(1)$

解法二 - 前缀和 + 暴力解

优化暴力解： (震惊，居然 AC 了）

在暴力解的基础上，用前缀和我们可以优化到暴力解O(n^2), 这里以空间换时间。 这里可以使用原数组表示prefixSum, 省空间。

求序列和可以用前缀和（prefixSum) 来优化，给定子序列的首尾位置（l, r), 那么序列和 subarraySum=prefixSum[r] - prefixSum[l - 1]; 用一个全局变量maxSum, 比较每次求解的子序列和，maxSum = max(maxSum, subarraySum).

复杂度分析

  • 时间复杂度：$O(N ^ 2)$, 其中 N 是数组长度
  • 空间复杂度：$O(N)$

如果用更改原数组表示前缀和数组，空间复杂度降为O(1)

但是时间复杂度还是太高，还能不能更优化。答案是可以，前缀和还可以优化到O(n).

解法三 - 优化前缀和 - from @lucifer

我们定义函数 S(i) ，它的功能是计算以 0（包括 0）开始加到 i（包括 i）的值。

那么 S(j) - S(i - 1) 就等于 从 i 开始（包括 i）加到 j（包括 j）的值。

我们进一步分析，实际上我们只需要遍历一次计算出所有的 S(i), 其中 i = 0,1,2,....,n-1。 然后我们再减去之前的 S(k),其中 k = 0,1,2,...,i-1，中的最小值即可。 因此我们需要 用一个变量来维护这个最小值，还需要一个变量维护最大值。

复杂度分析

  • 时间复杂度：$O(N)$, 其中 N 是数组长度
  • 空间复杂度：$O(1)$

解法四 - 分治法

我们把数组nums以中间位置（m)分为左（left)右(right)两部分. 那么有， left = nums[0]...nums[m - 1] 和 right = nums[m + 1]...nums[n-1]

最大子序列和的位置有以下三种情况：

  1. 考虑中间元素nums[m], 跨越左右两部分，这里从中间元素开始，往左求出后缀最大，往右求出前缀最大, 保持连续性。
  2. 不考虑中间元素，最大子序列和出现在左半部分，递归求解左边部分最大子序列和
  3. 不考虑中间元素，最大子序列和出现在右半部分，递归求解右边部分最大子序列和

分别求出三种情况下最大子序列和，三者中最大值即为最大子序列和。

举例说明，如下图：

复杂度分析

  • 时间复杂度：$O(NlogN)$, 其中 N 是数组长度
  • 空间复杂度：$O(logN)$

解法五 - 动态规划

动态规划的难点在于找到状态转移方程，

dp[i] - 表示到当前位置 i 的最大子序列和

状态转移方程为： dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i])

初始化：dp[0] = nums[0]

从状态转移方程中，我们只关注前一个状态的值，所以不需要开一个数组记录位置所有子序列和，只需要两个变量，

currMaxSum - 累计最大和到当前位置i

maxSum - 全局最大子序列和:

  • currMaxSum = max(currMaxSum + nums[i], nums[i])
  • maxSum = max(currMaxSum, maxSum)

如图：

复杂度分析

  • 时间复杂度：$O(N)$, 其中 N 是数组长度
  • 空间复杂度：$O(1)$

关键点分析

  1. 暴力解，列举所有组合子序列首尾位置的组合，求解最大的子序列和, 优化可以预先处理，得到前缀和
  2. 分治法，每次从中间位置把数组分为左右中三部分， 分别求出左右中（这里中是包括中间元素的子序列）最大和。对左右分别深度递归，三者中最大值即为当前最大子序列和。
  3. 动态规划，找到状态转移方程，求到当前位置最大和。

代码 (Java/Python3/Javascript)

解法二 - 前缀和 + 暴力

Java code

class MaximumSubarrayPrefixSum {
  public int maxSubArray(int[] nums) {
      int len = nums.length;
      int maxSum = Integer.MIN_VALUE;
      int sum = 0;
      for (int i = 0; i < len; i++) {
        sum = 0;
        for (int j = i; j < len; j++) {
          sum += nums[j];
          maxSum = Math.max(maxSum, sum);
        }
      }
      return maxSum;
  }
}

Python3 code (TLE)

import sys
class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        maxSum = -sys.maxsize
        sum = 0
        for i in range(n):
            sum = 0
            for j in range(i, n):
                sum += nums[j]
                maxSum = max(maxSum, sum)

        return maxSum

Javascript code from @lucifer

function LSS(list) {
  const len = list.length;
  let max = -Number.MAX_VALUE;
  let sum = 0;
  for (let i = 0; i < len; i++) {
    sum = 0;
    for (let j = i; j < len; j++) {
      sum += list[j];
      if (sum > max) {
        max = sum;
      }
    }
  }

  return max;
}

解法三 - 优化前缀和

Java code

class MaxSumSubarray {
  public int maxSubArray3(int[] nums) {
      int maxSum = nums[0];
      int sum = 0;
      int minSum = 0;
      for (int num : nums) {
        // prefix Sum
        sum += num;
        // update maxSum
        maxSum = Math.max(maxSum, sum - minSum);
        // update minSum
        minSum = Math.min(minSum, sum);
      }
      return maxSum;
  }
}

Python3 code

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        maxSum = nums[0]
        minSum = sum = 0
        for i in range(n):
            sum += nums[i]
            maxSum = max(maxSum, sum - minSum)
            minSum = min(minSum, sum)

        return maxSum

Javascript code from @lucifer

function LSS(list) {
  const len = list.length;
  let max = list[0];
  let min = 0;
  let sum = 0;
  for (let i = 0; i < len; i++) {
    sum += list[i];
    if (sum - min > max) max = sum - min;
    if (sum < min) {
      min = sum;
    }
  }

  return max;
}

解法四 - 分治法

Java code

class MaximumSubarrayDivideConquer {
  public int maxSubArrayDividConquer(int[] nums) {
      if (nums == null || nums.length == 0) return 0;
      return helper(nums, 0, nums.length - 1);
    }
    private int helper(int[] nums, int l, int r) {
      if (l > r) return Integer.MIN_VALUE;
      int mid = (l + r) >>> 1;
      int left = helper(nums, l, mid - 1);
      int right = helper(nums, mid + 1, r);
      int leftMaxSum = 0;
      int sum = 0;
      // left surfix maxSum start from index mid - 1 to l
      for (int i = mid - 1; i >= l; i--) {
        sum += nums[i];
        leftMaxSum = Math.max(leftMaxSum, sum);
      }
      int rightMaxSum = 0;
      sum = 0;
      // right prefix maxSum start from index mid + 1 to r
      for (int i = mid + 1; i <= r; i++) {
        sum += nums[i];
        rightMaxSum = Math.max(sum, rightMaxSum);
      }
      // max(left, right, crossSum)
      return Math.max(leftMaxSum + rightMaxSum + nums[mid], Math.max(left, right));
    }
}

Python3 code

import sys
class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        return self.helper(nums, 0, len(nums) - 1)
    def helper(self, nums, l, r):
        if l > r:
            return -sys.maxsize
        mid = (l + r) // 2
        left = self.helper(nums, l, mid - 1)
        right = self.helper(nums, mid + 1, r)
        left_suffix_max_sum = right_prefix_max_sum = 0
        sum = 0
        for i in reversed(range(l, mid)):
            sum += nums[i]
            left_suffix_max_sum = max(left_suffix_max_sum, sum)
        sum = 0
        for i in range(mid + 1, r + 1):
            sum += nums[i]
            right_prefix_max_sum = max(right_prefix_max_sum, sum)
        cross_max_sum = left_suffix_max_sum + right_prefix_max_sum + nums[mid]
        return max(cross_max_sum, left, right)

Javascript code from @lucifer

function helper(list, m, n) {
  if (m === n) return list[m];
  let sum = 0;
  let lmax = -Number.MAX_VALUE;
  let rmax = -Number.MAX_VALUE;
  const mid = ((n - m) >> 1) + m;
  const l = helper(list, m, mid);
  const r = helper(list, mid + 1, n);
  for (let i = mid; i >= m; i--) {
    sum += list[i];
    if (sum > lmax) lmax = sum;
  }

  sum = 0;

  for (let i = mid + 1; i <= n; i++) {
    sum += list[i];
    if (sum > rmax) rmax = sum;
  }

  return Math.max(l, r, lmax + rmax);
}

function LSS(list) {
  return helper(list, 0, list.length - 1);
}

解法五 - 动态规划

Java code

class MaximumSubarrayDP {
  public int maxSubArray(int[] nums) {
     int currMaxSum = nums[0];
     int maxSum = nums[0];
     for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
       currMaxSum = Math.max(currMaxSum + nums[i], nums[i]);
       maxSum = Math.max(maxSum, currMaxSum);
     }
     return maxSum;
  }
}

Python3 code

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        max_sum_ending_curr_index = max_sum = nums[0]
        for i in range(1, n):
            max_sum_ending_curr_index = max(max_sum_ending_curr_index + nums[i], nums[i])
            max_sum = max(max_sum_ending_curr_index, max_sum)

        return max_sum

Javascript code from @lucifer

function LSS(list) {
  const len = list.length;
  let max = list[0];
  for (let i = 1; i < len; i++) {
    list[i] = Math.max(0, list[i - 1]) + list[i];
    if (list[i] > max) max = list[i];
  }

  return max;
}

扩展

  • 如果数组是二维数组，求最大子数组的和？
  • 如果要求最大子序列的乘积？

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